Analyses de survie et modèles de Cox

Les coefficients estimés du modèle de Cox, notés beta_i, mesurent l’effet des covariables sur le risque de survenue de l’événement.

Ces coefficients correspondent aux logarithmes des Hazard Ratio (logHR). Le hazard Ratio est le ratio de risque instantané de survenue de l’événement entre deux groupes.

Pour le comprendre, envisageons un modèle de Cox simple, avec une seule variable explicative X. Supposons que nous observons deux individus avec des modalités X_1 pour l’un (par exemple « Hommes ») et X_2 pour l’autre (par exemple « Femmes »). Les risques instantanés de ces deux individus sont donnés par : 

\[  h(t|X_1) = h_0(t) \exp(\beta_1X_1)\] 

et :

\[  h(t|X_1) = h_0(t) \exp(\beta_1X_2)\]

Le rapport de risque (Hazard Ratio) entre ces deux individus est donné par : 

\[ \frac{h(t|X_1)}{h(t|X_2)} = \frac{h_0(t) \exp(\beta_1X_1)}{h_0(t) \exp(\beta_1X_2)} = \exp(\beta_1(X_1 – X_2))\]

En utilisant la transformation logarithmique, nous obtenons :

\[ \log\left(\frac{h(t|X_1)}{h(t|X_2)}\right) = \log\left(\frac{h_0(t) \exp(\beta_1 X_1)}{h_0(t) \exp(\beta_1 X_2)}\right) = \beta_1 (X_1 – X_2)\]

Il est important de noter que le hazard ratio est indépendant du temps. Cela signifie que l’effet des co-variables sur le risque est multiplicatif et constant au cours du temps. Cela illustre le principe des « risques proportionnels ».

Par exemple, si le Hazard Ratio associé à une covariable est de 2, alors le risque de l’événement pour une personne avec cette covariable sera toujours deux fois plus élevé que pour une personne sans cette covariable, et ce à n’importe quel moment de l’étude.